開成中学（2020年　算数　問２）

問題分析

難易度：B
（１）角速度も、点B・点Cに移るまでにかかる時間もそれぞれ与えられているのでていねいに処理してください。①の矢印と点Cの位置関係に注意しましょう。
（２）角速度が遅い点Cの方が前にいるということは、間もなく一周遅れになるということです。(1)の図の出来不出来で大きく結果が左右されてしまう問題です。
（３）(2)を乗り越えられれば点Cから点Bへの移動開始時の様子もイメージできたでしょう。

（１）の結果で大きな差がついてしましかねない問題でした。

問題

解答

（１）解説　（２）76分後　（３）94.4cm

解説

点Bの速さ　360÷60＝６°／分
点Cの速さ　360÷180＝2°／分
また、点Pが移動１で進む距離は　50×12/60=10m　だから
中心から円X、円Xから円Yにそれぞれ移動するということ。
まず点Bは　6°／分×12分＝72°　動くから

点Cも同様に　２°×（12＋8＋12）＝64°

したがって

（２）
点Bの方が速いから下の左図が右図になったということは点Bが点Cに一周差をつける直前の状況だとわかる。

ABとACの間にできる角度は

したがって
(360－56)÷(6－2)=７６分後

（３）
点Pが①③⑤⑦で移動する道のりはそれぞれ10cm。
②⑥で点Bと移動する道のりは、半径10cm・中心角48×2＝96°の弧の長さ。
よって④で点Cと移動する道のりを求めればよい。

まず点Pが点Cに移動する12分間で点Bは72°動いているから
点Pが点Cに移った時の様子は

となる。
次に点Pが点Cを離れるときの様子は

となる。
つまり、点Bは点Cより　360－72×2＝216°　多く動いていることがわかるから
点Pは　216÷(6－2)＝54分間　点Cと動いていたことになる。
よって点Cと動いた道のりは
半径20cm・中心角2×54=108°分の弧の長さ

したがって
10×4+10×2×3.14×48/360×2+20×2×3.14×108/360
=40+16/3×3.14+12×3.14
=94.42…
⇒９４．４cm